Rotating-Rainflow-Berechnung

Getriebe sind bedingt durch Konstruktion und Betriebsart homogenen und inhomogenen Wechsellasten ausgesetzt. In der Praxis weiß man zwar meist, welche Lastfälle auftreten, aber die exakte zeitliche Reihenfolge ist in der Regel nicht verfügbar und oft auch nicht sinnvoll als deterministische Lastzeitreihe vorzugeben. Genau diese Abfolge ist jedoch relevant: Wenn Betriebszustände nicht isoliert betrachtet, sondern in ihrer zeitlichen Reihenfolge durchlaufen werden, entstehen zusätzliche und oft höhere Beanspruchungen, als es eine reine lineare Akkumulation „zustandsweise“ erwarten lässt.

Das Rotating Rainflow Postprocessing nach FVA 1053 adressiert diesen Einfluss, indem es aus einem flexiblen Lastkollektiv und einer Übergangsmatrix eine repräsentative Lastfallfolge konstruiert. Diese wird anschließend auf die Ebene der lokalen Zahnfußspannungen heruntergebrochen und mittels Rainflowzählung in ein werkstoffmechanisch interpretierbares Spannungskollektiv überführt. Ziel ist eine Bewertung variabler Betriebszustände, die innerhalb der Logik der ISO 6336 bleibt, aber Reihenfolgeeffekte und Mittelspannungseinflüsse wesentlich konsistenter berücksichtigt als eine reine Kollektivbetrachtung mit globalen Faktoren.

Formelzeichen

Tabelle 16. Formelzeichen

Formelzeichen	Bezeichnung
σ_o	oberer Umkehrpunkt eines Schwingspiels
σ_u	unterer Umkehrpunkt eines Schwingspiels
σ_a	Spannungsamplitude $\left(=\frac{\sigma_o-\sigma_u}{2}\right)$
σ_m	Mittelspannung $\left(=\frac{\sigma_o+\sigma_u}{2}\right)$
R	Spannungsverhältnis $\left(=\frac{\sigma_u}{\sigma_o}\right)$
M	Mittelspannungsempfindlichkeit (Neigung im Haigh-Diagramm)
n	Wiederholzahl eines quasi stationären Spannungssegments innerhalb eines Betriebszustands

Berechnungsablauf

Folgende Berechnungen werden beim Rotating-Rainflow-Postprocessing im Gesamtsystem der FVA-Workbench durchgeführt:

Synthetische Spannungsverläufe am Zahnfuß je Lastfall
Rekonstruktion einer Lastfallfolge aus einer Rainflow-Übergangsmatrix
Gesamt-Spannungszeitverlaufs und Rainflow-Zählung
Mittelspannungstransformation im Haigh-Diagramm
Schadensakkumulation nach ISO 6336

Synthetische Spannungsverläufe am Zahnfuß je Lastfall

Die Rainflowzählung benötigt eine zeitlich geordnete Umkehrpunktfolge diskreter Spannungswerte. Da das flexible Lastkollektiv zunächst aus diskreten Lastfällen besteht, wird pro Lastfall ein idealisierter Spannungsverlauf eines Zahneingriffs synthetisiert. Dafür wird die nach ISO 6336 umbewertete Zahnfußspannung an der 30°-Tangente herangezogen.

Hierbei ist zusätzlich wichtig, dass für jeden Lastfall eindeutig festgelegt sein muss, welche Flankenseite trägt. Bei Richtungswechseln oder Lastvorzeichenwechseln wird dadurch die „aktive“ Seite gewechselt und es entstehen lokal am Zahnfuß unterschiedliche Vorzeichen und Mittelspannungen. Das Verfahren nutzt diese Information aus der Leistungsflussbetrachtung beziehungsweise aus der Lastfallrichtung, um Zug- und Druckanteile im Signal konsistent abzubilden.

Eine wesentliche Annahme betrifft die Druckseite: Für die Druckseite des belasteten Zahns wird in der 30°-Tangente ein Spannungswert angesetzt, der dem -1,2-fachen der Zugseiten-Zahnfußspannung entspricht [Brin 89]. Dadurch erhält der synthetische Verlauf pro Eingriff nicht nur eine Zugpulsation, sondern auch den zur realen Beanspruchung passenden Wechselanteil.

Damit entsteht für jeden Lastfall ein diskretes Umkehrpunktsignal eines „Zustandssegments“.

Rekonstruktion einer Lastfallfolge aus einer Rainflow-Übergangsmatrix

Ausgangsbasis des Verfahrens ist eine Übergangsmatrix, die beschreibt, wie häufig zwischen Betriebszuständen gewechselt wird. Konzeptionell ist das keine „Wahrscheinlichkeitsmatrix“ im Sinne eines abstrakten Markov-Modells, sondern eine operational verwendbare Beschreibung der Übergänge über die betrachtete Lebensdauer. Ein Matrixelement 𝑁𝑖→j steht dafür, wie oft in der Lebensdauer auf den Betriebszustand 𝑖 unmittelbar der Betriebszustand 𝑗 folgt. Damit wird die Reihenfolgeinformation in kompakter Form gespeichert. Ein Lastkollektiv sagt, welche Zustände auftreten und wie stark sie sind, die Übergangsmatrix ergänzt, wie diese Zustände typischerweise aufeinander folgen.

Für Stirnräder ist diese Reihenfolgeinformation besonders dann entscheidend, wenn Lastvorzeichen wechseln („Zugbetrieb“ und „Schubbetrieb“) oder Zustände stark unterschiedliche Drehmomente besitzen. In solchen Fällen entsteht am Zahnfuß ein Spannungsbild, das nicht nur „hoch“ oder „niedrig“ ist, sondern in dem sich Zug- und Druckanteile sowie Mittelspannungsniveaus systematisch mit der Abfolge verschieben. Das Verfahren setzt genau hier an und baut eine Beanspruchungszeitreihe so auf, dass diese Übergänge explizit enthalten sind.

Aus der Übergangsmatrix wird eine pseudozufällige Abfolge von Betriebszuständen generiert, die die in der Matrix definierten Häufigkeiten erfüllt. „Pseudozufällig“ bedeutet hier: Die Folge wirkt zufällig, ist aber so konstruiert, dass die Übergangsanzahlen der Matrix reproduziert werden. Der in der Methodik verwendete Algorithmus orientiert sich an Arbeiten von Fischer et al. [Fisc 77] und lässt sich so verstehen, dass zeilenweise mit Zufallszahlen gearbeitet wird, um aus den vorgegebenen Übergangshäufigkeiten jeweils den nächsten Zustand auszuwählen. Praktisch werden die Einträge der aktuellen Zeile so lange „abgetragen“, bis der Übergang bestimmt ist. Dieser Schritt wird wiederholt, bis die Matrixbedingungen erfüllt sind. Wichtig für die praktische Anwendung ist die Randbedingung, dass die Übergangsbeschreibung konsistent sein muss. Wenn ein Zustand nur als „Ziel“ auftaucht, aber keine ausgehenden Übergänge besitzt, oder wenn Teilmengen von Zuständen voneinander abgeschnitten sind, kann keine vollständige Folge erzeugt werden, die alle Häufigkeiten erfüllt.

In der Workbench ist das Ergebnis bei identischen Eingaben reproduzierbar. Das heißt, bei gleicher Übergangsmatrix und gleichem Lastkollektiv entsteht stets die gleiche Lastfallfolge.

Gesamt-Spannungszeitverlaufs und Rainflow-Zählung

Unter der Annahme, dass jeder Betriebszustand für sich näherungsweise quasi stationär ist, wird im nächsten Schritt aus den einzelnen Zuständen ein Spannungs-Zeit-Signal aufgebaut. Der entscheidende Punkt ist dabei, dass Rainflow nicht das vollständige „hochaufgelöste“ Signal benötigt, sondern ausschließlich die Abfolge diskreter Umkehrpunkte. Daher wird das Spannungssegment eines einzelnen Betriebszustands so vereinfacht und gefiltert, dass nur Umkehrpunkte übrig bleiben. Diese Reduktion entspricht dem Kern der Rainflow-Interpretation über Spannungs-Dehnungs-Hysteresen: Für die Zählung geschlossener Schleifen ist die Umkehrpunktfolge die relevante Information.

Damit ein Betriebszustand die richtige „Dauer“ bekommt, wird das vereinfachte Umkehrpunktsegment anschließend wiederholt. Die Wiederholzahl n ergibt sich aus der Dauer des Betriebszustands und der zugehörigen Drehzahl, sinngemäß also aus der Anzahl der wirksamen Überrollungen beziehungsweise Eingriffsereignisse in dieser Zeit. Bei Stirnrädern ist die Zuordnung besonders direkt, weil die Belastungswiederholung am Zahnfuß eng an die Rotation gekoppelt ist. In der Praxis wird damit erreicht, dass ein kurzer, aber häufiger Zustand anders in die Zeitreihe eingeht als ein langer Zustand mit geringer Wiederholzahl.

Anschließend werden die so erzeugten Segmente in der Reihenfolge der generierten Zustandsfolge aneinandergekettet. Ergebnis ist eine repräsentative Spannungs-Zeit-Folge für einen Auswertepunkt am Zahnfuß eines Stirnrads.

Auf dieser Folge wird die Rainflow-Zählung ausgeführt. Implementiert ist der 3-Punkt-Algorithmus nach Clormann und Seeger [Clor 86]. Welcher sich über eine sehr anschauliche werkstoffmechanische Interpretation der Schwingspiele über Spannungs-Dehnungs-Hysteresen auszeichnet. Das Ergebnis ist eine Spannungs-Rainflow-Matrix je Zahnradflanke, die die gezählten Schwingspiele in klassierter Form enthält.

Die gezählten Schwingspiele werden in einer Rainflow-Spannungs-Matrix abgelegt. Diese Matrix enthält für jedes Schwingspiel den oberen und unteren Umkehrpunkt σ_o und σ_u. Daraus lassen sich unmittelbar Amplitude σ_a und Mittelspannung σ_m bestimmen. Diese Darstellungsform ist für das nachfolgende Vorgehen zentral, weil sie die Brücke zur Mittelspannungstransformation bildet.

Mittelspannungstransformation im Haigh-Diagramm

Üblicherweise werden Schwingspiele über lineare Schadensakkumulation gegen eine Wöhlerlinie bewertet. Das ist jedoch nur unmittelbar zulässig, wenn Schwingspiele und Wöhlerlinie das gleiche Spannungsverhältnis R besitzen. Für Verzahnungen liegen die Wöhlerlinien typischerweise für R = 0 vor, also zugschwellende Beanspruchung. Der Grund ist die Art der Ermittlung der Festigkeitskennwerte, die klassisch auf einem Pulsator erfolgt. Die Schwingspiele in der Rainflow-Matrix weisen jedoch in der Regel R ≠ 0auf, weil die reale Beanspruchung Mittelspannung und Vorzeichenwechsel enthält. Daher müssen die gezählten Schwingspiele vor der Bewertung schädigungsäquivalent auf R= 0 transformiert werden.

Das Prinzip lässt sich im Haigh-Diagramm sehr anschaulich erklären. Im Haigh-Diagramm wird die Spannungsamplitude über der Mittelspannung dargestellt. Jedes Rainflow-gezählte Schwingspiel lässt sich als Punkt (σ_m, σ_a ) eintragen. Die Mittelspannungstransformation erfolgt dann grafisch entlang einer Geraden, deren Neigung durch die Mittelspannungsempfindlichkeit M beschrieben wird. Entlang dieser Richtung werden die Schwingspiele parallel verschoben, bis das Zielspannungsverhältnis R = 0 erreicht ist. Aus dem so verschobenen Punkt kann die äquivalente Amplitude für R = 0 abgelesen werden. Das Vorgehen entspricht dem Äquivalentspannungsnachweis, wie er in ähnlicher Form auch in der FKM-Systematik verwendet wird.

In der Implementierung wird dafür pro Schwingspiel in der Rainflow-Matrix mit Mittelspannung σ_m, Amplitude σ_a und Häufigkeit n zunächst das Spannungsverhältnis über die Umkehrpunkte rekonstruiert. Da σ_o = σ_m + σ_a und σ_u = σ_m- σ_a ergibt sich:

Gleichung 262.

R=\frac{\sigma_u}{\sigma_o}=\frac{\sigma_m-\sigma_a}{\sigma_m+\sigma_a}

Anschließend wird ein Korrekturfaktor K_AK in Abhängigkeit von R, σ_m, σ_a und der Mittelspannungsempfindlichkeit M_σ gebildet. In der Implementierung ist das stückweise definiert:

Gleichung 263.

K_{AK}=\begin{cases}\frac{1}{1-M_{\sigma}} & R>1 \\ \frac{1}{1+M_{\sigma}\cdot\frac{\sigma_m}{\sigma_a}} & R\leq 0 \\ \frac{3+M_{\sigma}}{(1+M_{\sigma})\cdot\left(3+M_{\sigma}\cdot\frac{\sigma_m}{\sigma_a}\right)} & 0<R<0.5 \\ \frac{3+M_{\sigma}}{3(1+M_{\sigma})^2} & R\geq 0.5 \end{cases}

Mit diesem Faktor wird die Amplitude zunächst auf ein äquivalentes Niveau umgerechnet, indem die Amplitude dividiert wird:

Gleichung 264.

\sigma_{a,R=-1}=\frac{\sigma_a}{K_{AK}}

Dieser Schritt führt eine Umrechnung auf R = -1 also auf wechselnde Beanspruchung durch. Für Zahnräder ist anschließend ein zusätzlicher Schritt erforderlich, weil die Referenzwöhlerlinie üblicherweise R = 0 entspricht. Dazu wird mit

Gleichung 265.

K_{AK,R=0}=\frac{1}{1+M_{\sigma}}

Eine weitere Umbewertung vorgenommen:

Gleichung 266.

\sigma_{a,R=0}=K_{AK,R=0}\cdot\sigma_{a,R=-1}

Die Häufigkeit (n) des jeweiligen Schwingspiels bleibt unverändert und wird zusammen mit der umgewerteten Amplitude in ein klassisches Spannungsamplitudenkollektiv überführt.

Die Mittelspannungsempfindlichkeit kann in der FVA-Workbench über vier Wege bestimmt werden:

FKM-Richtlinie (aus Zugfestigkeit und Werkstoffgruppe)
ISO 6336 (aus Wärmebehandlung und Werkstoffgruppe)
FVA 109 I (aus relativer Stützzahl und Wärmebehandlung)
Benutzervorgabe aus Versuch beziehungsweise Erfahrungswerten

Für die praktische Anwendung bedeutet das: Die Transformation ist nicht nur ein mathematischer Schritt, sondern ein modellierter Werkstoffparameter, der die resultierende äquivalente Amplitude und damit die Schadenssumme unmittelbar beeinflusst.

Schadensakkumulation nach ISO 6336

Aus der Rainflow-Zählung und der Mittelspannungstransformation entsteht ein klassisches Spannungsamplitudenkollektiv mit Häufigkeiten, das für eine lokale lineare Schadensakkumulation verwendet wird. Da die ISO-6336-Wöhlerlinie als Schwingweiten-Wöhlerlinie (auch als „Doppelamplituden“ bekannt) formuliert ist, wird diese für die Schadensakkumulation auf eine Amplituden-Wöhlerlinie angepasst. Hierzu werden alle Wöhlerlinienbeschreibenden Spannungen halbiert, sodass statt „Doppelamplituden“ „Einfachamplituden“ dargestellt werden. In der Konsequenz kann die Schadenssumme lokal für die Zahnfußbereiche ermittelt werden, und zwar auch in Fällen, in denen Zug- und Druckanteile beide relevant sind. Das ist insbesondere bei wechselnder Lastrichtung oder bei Zustandsfolgen mit ausgeprägten Mittelspannungsniveaus fachlich interessant, weil sich hier Spannungszustände ergeben, die eine reine Auswertung nur auf Zugseite systematisch unterschätzen kann.

Literatur

[1] Fischer, R.; Hück, M.; Köbler, H. G.; Schütz, W.: Eine dem stationären Gaußprozess verwandte Beanspruchungs-Zeit-Funktion für Betriebsfestigkeitsversuche. Fortschritt-Berichte VDI-Z Reihe 5, 1977

[2] Clormann, U.; Seeger, T.: Rainflow-HCM. Ein Zählverfahren für Betriebsfestigkeitsnachweise auf werkstoffmechanischer Grundlage. Stahlbau 55(3), 1986

[3] Brinck, P.; Michaelis, K.; Rettig, H.; Winter, H.: FVA 109: Zahnfußfestigkeit bei Wechsellast, 1989

In diesem Abschnitt:

FVA-Workbench KnowledgeBase